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#1 21-03-2016 19:56:51

enicar
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un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Bonjour,
On m'a donné récemment des vieux bouquins de maths (choses dont je suis friand wink).
J'ai trouvé un problème intéressant dans le chapitre sur le PGCD et le PPCM.
Le voici :

En comptant les élèves d'une école par 9, par 10 et par 12, il en reste respectivement
8, 9 et 11. En les comptant par 11 il n'en reste pas. Trouver le nombre d'élèves de l'école.

J'ai trouvé un ensemble de solution en utilisant des congruences. Mais je me demande
comment on peut résoudre ce problème en utilisant le PGCD et le PPCM (qui finit par apparaître
de toute façon…). À vous de jouer smile

Dernière modification par enicar (23-03-2016 15:48:49)


La machine, c'est dépassé ! On va tout remplacer par des humains big_smile

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#2 21-03-2016 19:59:20

smolski
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Quand on a compté onze, y se sont tous carapatés ! tongue

"Définition d'eric besson : S'il fallait en chier des tonnes pour devenir ministre, il aurait 2 trous du cul." - JP Douillon
"L'utopie ne signifie pas l'irréalisable, mais l'irréalisée." - T Monod (source :  La zone de Siné)
"Je peux rire de tout mais pas avec n'importe qui." - P Desproges
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#3 21-03-2016 20:32:21

enicar
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Je précise, que la solution existe et est relativement facile à calculer à la main.
Ceci dit, j'ai vérifié mon calcul en trois lignes à l'aide de pari/gp big_smile

La machine, c'est dépassé ! On va tout remplacer par des humains big_smile

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#4 21-03-2016 21:36:37

bendia
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Salut smile

Un peu d'anticipation : la réponse des élèves de 4ème en 2018

#!/usr/bin/env python
i=1
while (i%12 != 11 or i%9 != 8 or i%10 != 9 or i%11 != 0):
    i=i+1
print i
 



cool


Ben
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#5 21-03-2016 21:40:27

enicar
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Oui, en effet smile C'est une façon de faire qui peut convenir pour trouver la première solution
possible ; mais à faire à la main c'est fastidieux. En plus il existe une infinité de solutions…

Sinon, c'est bien trouvé wink

Dernière modification par enicar (21-03-2016 21:43:05)


La machine, c'est dépassé ! On va tout remplacer par des humains big_smile

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#6 21-03-2016 21:52:39

bendia
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Certain que ça sera la façon de faire en 2018 (sinon, il ne passeront pas en 3ème wink ). Bon voilà pas jusqu'à l'infini, mais ça va faire une grande école à la fin big_smile (J'en profite pour revoir l'algorithme qui sera plus lisibles par les élèves de 4éme, car plus naturel)

#!/usr/bin/env python
i=1
while True:
    while not (i%12 == 11 and i%9 == 8 and i%10 == 9 and i%11 == 0):
        i=i+1
    print i
    i=i+1
 


Ben
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#7 22-03-2016 00:43:04

enicar
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Je propose ma solution mathématique que j'ai rédigé en latex :
http://enikar.chezlefab.net/Maths/congruences.pdf
Avec en prime la résolution du problème avec pari/gp pour vérifier la
validité des calculs smile

Ça m'étonnerait que des élèves de quatrième même en 1958 manipulaient
des congruences. D'ailleurs ce n'était pas dans le cours wink Reste à trouver
la solution qui utilise le PPCM wink

La machine, c'est dépassé ! On va tout remplacer par des humains big_smile

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#8 22-03-2016 14:01:35

Dunatotatos
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Si on ajoute 1 élève à la classe, le nombre d'élèves est divisible par 9, 10 et 12.
x-1 est donc multiple de PPCM(9,10,12) (=180)

La solution un peu laide mais certainement mise en place par beaucoup de feignasses est de dire que x-1 est multiple de 180, puis vérifier pour quel multiple x est aussi multiple de 11 :
Si x-1 = 180
x = 179 pas divisible par 11

Si x-1 = 360
x = 359 pas divisible par 11

Si x-1 = 540
x = 539, divisible par 11 !

Pour terminer le problème avec plus de classe, on peut écrire (avec x le nombre d'élèves et a et b deux nombres entiers) :
x = a*180 - 1
x = b*11

donc a*180 - b*11 = 1
C'est une équation diophantienne de base, puisque 180 et 11 sont premiers entre eux.
La première étape reste cependant de trouver une solution particulière. Dérouler l'algorithme d'Euclide étendu est plus fastidieux que l'étape de feignasse que j'ai présenté au-dessus. Le reste fonctionne avec des congruences, mais je pense que la solution particulière suffit pour des élèves de 4ème.

Dernière modification par Dunatotatos (22-03-2016 14:05:41)


Never trust Windows output.

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#9 22-03-2016 20:46:15

enicar
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Très bien vu smile

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#10 22-03-2016 22:05:10

smolski
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Pffff Fastoche quand on sait.
Ce que j'aimerai bien voir, c'est la solution par quelqu'un qui sait pas... big_smile

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#11 23-03-2016 02:20:21

nazmi
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

Maintenant c'est mort (enfin pour moi) car spoilé par Dunatotatos tongue , mais ça reste marrant de voir toutes les façons de faire qui ont été déployées smile , je crois que je serais parti pour lister les multiples de 11 puis par tatonnement j'aurais trouvé avec ce qui se divise par 10 et a comme reste 9, toussa hmm pas très optimisé je pense par rapport à vos méthodes .

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#12 23-03-2016 14:24:53

bendia
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

nazmi a écrit :

pas très optimisé je pense par rapport à vos méthodes .

Bah si, la mienne l'est encore moi, je ne me casse même pas la tête à chercher les multiples de 11, je fais (faire wink ) les 4 divisions à chaque fois pour tous les entiers jusqu'au résultat hmm


Ben
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#13 23-03-2016 15:38:54

enicar
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

smolski a écrit :

Ce que j'aimerai bien voir, c'est la solution par quelqu'un qui sait pas... big_smile


Avant de bidouiller un truc avec les congruences je ne savais pas comment faire
(sauf avec les congruences avec lesquelles je pensais pouvoir aboutir…) ça compte ? big_smile

Ceci dit, Il y avait un problème qui y ressemble beaucoup que j'avais résolu
avec le PPCM, voici l'énnoncé :

Un enfant compte ses timbres-poste par 12, par 16 et par 20. Il lui en reste 8 à chaque fois.
En les comptant par 13, il ne lui en reste plus. Combien possède-t-il de timbres ?

Dans ce cas je trouvais la solution évidente… dans l'autre cas je n'ai pas vu qu'il suffisait d'ajouter un,
pour avoir pile un multiple de 9, 10 et 12. Il faudrait peut être que je change de lunettes big_smile


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#14 23-03-2016 15:48:11

enicar
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

nazmi a écrit :

pas très optimisé je pense par rapport à vos méthodes .


En fait, les congruences font exactement ce que tu proposes mais d'une
façon plus compactes wink
On peut dire que c'est très similaire à des problèmes de comptage de
nombre de dents dans un mécanisme avec des engrenages smile

Il y a un théorème qui traite de ce genre de questions : le théorème des
reste chinois qui est connu par les chinois depuis le troisième siècle
d'après wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_ … es_chinois


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#15 23-03-2016 17:16:49

nazmi
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Re : un exo de maths de quatrième de 1958 (Résolu :D)

bendia a écrit :

nazmi a écrit :

pas très optimisé je pense par rapport à vos méthodes .

Bah si, la mienne l'est encore moi, je ne me casse même pas la tête à chercher les multiples de 11, je fais (faire wink ) les 4 divisions à chaque fois pour tous les entiers jusqu'au résultat hmm



c'est ce que je dis, ma méthode aurait été longue et pas forcément fructueuse alors que ton algo est efficace et ne nécessite pas de faire la liste des multiples à la main

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